Projekt 2017: Fraktale

Ein weiteres MINT-Projekt in der Projektwoche der MSS 12 war das Projekt Fraktale.

19 Schülerinnen und Schüler verbrachten fünf Tage im Computerraum, um das weite Feld der Fraktale zumindest ansatzweise zu erforschen.

Tatkräftige Unterstützung bekamen sie dabei am Mittwoch von zwei Studenten des Hausdorff Center for Mathematics der Universität Bonn.

Eine erste Orientierung bekam die Gruppe durch den Film „Die Faszination der verborgenen Dimension-Fraktale“ und die Lektüre zahlreicher Bücher über fraktale Geometrie, sodass am ersten Tag Kleingruppen gebildet werden konnten in denen jeder ein Thema, das ihn interessierte, genauer bearbeiten konnte.

Zunächst wurde der Begriff der Fraktalen-Dimension erarbeitet.

Fraktale besitzen keine ganzzahlige Dimension, sondern eine “gebrochene“ Dimension. Nach Felix Hausdorff (1868-1942) ist die Dimension ein Maß, das angibt, wieviel Platz eine bestimmte Struktur bietet. Dies hängt mit dem Verästelungsgrad und der Zerklüftung der Struktur zusammen. Eine Dimension ist die Ähnlichkeitsdimension, die bei selbstähnlichen Objekten der Hausdorffdimension entspricht. Sie kann bei bekannten Fraktalen durch eine einfache Formel ermittelt werden. So ist die Dimension der Cantormenge nur etwa 0.63, während die Dimension des Sierpinskidreiecks bei etwa 1, 59 liegt. Eine weitere Dimension ist die Boxdimension, die mit der sogenannten “boxcounting“ Methode ermittelt wird. Hierbei überdeckt man die zu untersuchende Struktur mit einer karierten Folie und zählt alle Karos, in denen ein Teil des Fraktals auftaucht. Man merkt sich die Gesamtanzahl der Karos und die Anzahl derjenigen, die vom Fraktal erfasst werden. Dann verfeinert man das Verfahren durch eine Folie mit kleineren Karos. Anschließend trägt man die Punkt in doppelt-logarithmischer Darstellung auf und ermittelt die Ausgleichsgerade. Die Steigung dieser Ausgleichsgeraden entspricht der Boxdimension des Fraktals. Möchte man die Länge einer Küstenlinie bestimmen, so kann man hierfür die Yardstickmethode benutzen. Diese Methode eignet sich nur für topologisch eindimensionale Mengen, also für Kurven.

Man misst deren Länge durch Abzirkeln. Der Schnittpunkt eines Kreises mit der Kurve ist wiederum der neue Mittelpunkt des nächsten Kreises. So wird die Kurve mit Kreisen des gleichen Radius überdeckt. Mit der Anzahl N und dem Radius " dieser Kreise verfährt man weiter wie bei der Boxcounting-Methode. Tatsächlich ist die Yardstick-Methode theoretisch lediglich ein Spezialfall der Boxcounting-Methode. Mithilfe dieser Methode fanden die Schüler die Längen der Küstenlinien verschiedener Länder wie Madagaskar, Ägypten, Colorado ... heraus und verglichen diese anschließend mit Literaturwerte

Danach befassten sich die einen mit selbstähnlichen Gebilden in der Natur wie dem Farn, Romanescokohl, Blumenkohl, Bäume, ….

Fraktalantennen findet man heutzutage in jedem Handy. Ihr Vorteil ist, dass man mit nur einer Antenne Wellen mit verschiedenen Frequenzbereichen wie z.B. Bluetooth, GPS, Wlan …empfangen kann. Max und Artur packte der Ehrgeiz, eine Fraktalantenne zu bauen und damit zu experimentieren.

In der Krebsforschung werden Fraktalanalysen in der modernen Tumordiagnostik verwendet, um Zellen zu klassifizieren und mögliche Aussagen über  das Metastisierungsverhalten abzuleiten.

Die Entstehung von Krebs kann als Abweichung von Gleichgewichtsstrukturen betrachtet werden, wodurch in dem System ein höheres Maß an Komplexität und Chaos erzeugt wird. Viele zelluläre Prozesse sind mit der Zelladhäsion verknüpft. Eine Betrachtung genauer Adhäsionsmuster ermöglicht es, bereits kleinste Veränderungen zu quantifizieren. Langfristig könnte ein System etabliert werden, bei der die Fraktalanalyse als Hauptidentifizierungsmethode von Tumorzellen fungiert.

Am Mittwoch stand der Workshop „Chaostheorie und Fraktale“ auf dem Plan, den zwei Studenten der Universität Bonn leiteten. Sie entwickelten am Beispiel des Wachstums einer Population ein mathematisches Modell. Beginnend mit dem exponentiellen Wachstum wurde eine Formel für das logistische Wachstum entwickelt und untersucht, welche Grenzwerte sich bei verschiedenen Wachstumsfaktoren ergeben.

Am Feigenbaumdiagramm, benannt nach Mitchell Jay Feigenbaum, kann man für die logistische Gleichung zu jedem Wachstumsfaktor r auf der x-Achse den entsprechenden Häufungswert auf der y-Achse ablesen.

Eine minimale Änderung der Anfangsbedingungen führten auf lange Sicht dazu, dass sich das System chaotisch weiterentwickelt. Ungenauigkeiten und unvermeidliche, nicht mehr registrierbare Messfehler in den Startwerten führen langfristige Vorausberechnungen ad absurdum. Das System ist sensitiv abhängig von den Anfangsbedingungen. Durch geeignete Substitution kann die logistische Gleichung in der Form geschrieben werden, wobei z eine komplexe Zahl ist. Die graphische Darstellung dieser Gleichung in der komplexen Ebene ist die nach ihrem Entdecker Benoît Mandelbrot (20.11.1924-14.10.2010) benannte Mandelbrotmenge, auch „Apfelmännchen“ genannt. Es handelt sich dabei um ein selbstähnliches Gebilde, ein Fraktal.

Nach diesem theoretischen aber auch sehr anschaulich gestalteten Teil wurden an den nächsten Tagen von den Informatikern Peano- und Kochkurven programmiert. Zur Veranschaulichung selbstähnlicher Strukturen bauten fleißige Hände ein Megamengerschwamm und programmierten eine Animation eines Mengerschwamms.

Dass man Fraktale auch gut schmecken bewiesen unsere Bäckerinnen am Freitag mit ihren Fraktalplätzchen.

Martina Post, Barbra Schütt-Kerber